1. Kostentheorie

1.1. Kostenrechnung als Teilgebiet des betrieblichen Rechnungswesens

Die Aufgabe eines Unternehmens besteht in der Herstellung und im Absatz von Wirtschaftsgütern. Dieser Prozess der Leistungserstellung und Leistungsverwertung (auch als Produktionsprozess bezeichnet), erfolgt durch Kombination von Produktionsfaktoren, die bei der Leistungserstellung umgewandelt oder verbraucht werden. Der Geschäftsführung obliegt die Aufgabe, den Produktionsprozess zu planen, zu steuern und zu kontrollieren. Zur Erfüllung dieser Aufgabe bedient sich die Geschäftsleitung des betrieblichen Rechnungswesens.

„Unter dem Begriff betriebliches Rechnungswesen fasst man sämtliche Verfahren zusammen, deren Aufgabe es ist, alle im Betrieb auftretenden Geld- und Leistungsströme ... mengen- und wertmäßig zu erfassen und zu überwachen.“[1]

Damit kommt dem betrieblichen Rechnungswesen in erster Linie Dokumentations- und Kontrollfunktion zu.

Mit dem betrieblichen Rechnungswesen werden sowohl externe als auch interne Zwecke verfolgt:

Externe Zwecke:
Aufgrund der vom betrieblichen Rechnungswesen gelieferten Daten werden Interessengruppen wie Anteilseigner, Gläubiger, Banken, Lieferanten und selbstverständlich auch der Staat (Finanzamt) über die Lage des Unternehmens informiert. Diese Information erfolgt z.T. aufgrund gesetzlicher Vorschriften, aber auch freiwillig.

Interne Zwecke:
Die Zahlen des Rechnungswesens sollten jederzeit eine Überwachung der Wirtschaftlichkeit und der Rentabilität des Unternehmens ermöglichen. Darüber hinaus müssen vom Rechnungswesen Zahlen für unternehmerische Entscheidungen wie Investitionsentscheidungen, Entscheidungen über Preisgestaltung, Produktpolitik, Auswahl von Produktionsverfahren usw. bereitgestellt werden.

Diese unterschiedlichen Aufgaben des Rechnungswesens lassen sich nicht mit einer einzigen „Rechnung“ erfüllen, da die Rechenschaftslegung nach außen gegenüber Gläubigern, Aktionären und dem Finanzamt völlig andere Ziele verfolgt, als die Darstellung der wirtschaftlichen Lage nach innen.

Nach außen soll oft eine ausgezeichnete Unternehmenslage schlechter dargestellt werden, um zu hohe Ausschüttungen an Aktionäre oder zu hohe Steuerzahlungen zu vermeiden. Eine schlechte Unternehmenslage wird oft besser dargestellt, um weitere Kredite zu erhalten. Nach innen dagegen muss die Unternehmenslage realistisch aufgezeigt werden, um die bestmöglichen Entscheidungen treffen zu können.

Diese unterschiedlichen Zielsetzungen machen eine Aufteilung des betrieblichen Rechnungswesens in Teilgebiete erforderlich. Man unterscheidet zwischen:

„Die Aufgabe der Finanzbuchhaltung besteht darin, alle wirtschaftlich bedeutsamen Vorgänge (Geschäftsvorfälle), die sich im Betrieb ereignen, in chronologischer Reihenfolge festzuhalten.“[2] Da das Zahlenmaterial der Finanzbuchhaltung und der daraus resultierende Jahresabschluss externen Zwecken dient (Interessengruppen wie Gläubiger, Aktionäre und Staat wollen sich über die Vermögens- und Ertragslage eines Unternehmens informieren), gibt es im Rahmen der Finanzbuchhaltung gesetzliche Bestimmungen (z.B. über die Bewertung von Wirtschaftsgütern) zum Schutz der verschiedenen Interessengruppen.

Die Kosten- und Leistungsrechnung als Teilgebiet des betrieblichen Rechnungswesens dient in erster Linie betriebsinternen Zwecken, es gibt deshalb keine gesetzlichen Vorschriften zu beachten (Ausnahme: VPöA = Verordnung zur Preisermittlung bei öffentlichen Aufträgen vom 21.11.1953). Auf der Grundlage des Zahlenmaterials der Finanzbuchhaltung soll die Kosten- und Leistungsrechnung in erster Linie drei Aufgaben erfüllen:

Die betriebswirtschaftliche Statistik und Vergleichsrechnung wertet neben anderen Unterlagen das Zahlenmaterial aus Finanzbuchhaltung und Kostenrechnung aus. Es werden beispielsweise die Umsätze oder die Produktion mehrerer Perioden verglichen, es werden Beziehungen und Zusammenhänge zwischen betriebswirtschaftlichen Größen wie Umsatz und Gewinn, Lohnkosten und Gesamtkosten festgestellt. Auch zwischenbetriebliche Vergleiche gehören zum Gebiet der betriebswirtschaftlichen Statistik und Vergleichsrechnung.

Die Planungsrechnung befasst sich im Gegensatz zu den bisher dargestellten Teilgebieten des betrieblichen Rechnungswesens mit der Zukunft. Sie hat die Aufgabe, aufgrund des zur Verfügung stehenden Zahlenmaterials aus der Finanzbuchhaltung, Kostenrechnung und Statistik zukünftige betriebliche Entwicklungen zu prognostizieren. Eine scharfe Trennung zwischen Kosten- und Leistungsrechnung und Planungsrechnung ist nicht immer möglich: Die Plankostenrechnung als Teilgebiet der Kosten- und Leistungsrechnung ist ihrem Wesen nach eine Planungsrechnung.




1.2. Kostendefinition und Kostenbegriffe

1.2.1. Kostendefinition:

Kosten sind:

Kosten sind also der in Geld bewertete Verzehr von Gütermengen (durch Umformung) zur Erstellung anderer Güter.

1.2.2. Fixe Kosten, variable Kosten und Gesamtkosten

Bei den meisten Produktionsprozessen entstehen sowohl Kosten, die von der Menge der produzierten Güter abhängen, wie auch Kosten, die unabhängig von der Produktionsmenge immer in gleicher Höhe anfallen.

Dies sei an einem ersten, einfachen Beispiel verdeutlicht:
Sie haben einen 50 m2 großen Garten, der umgegraben werden muss. Ein Student erklärt sich bereit, Ihnen diese Arbeit für 10 €/m2 abzunehmen. Damit der Student vereinbarungsgemäß Anfang nächster Woche beginnen kann, müssen Sie zunächst 200 € für Gartengeräte ausgeben. Sie schließen nicht aus, dass der Student möglicherweise überhaupt nicht erscheint oder nach einigen umgegrabenen Quadratmetern erschöpft aufgibt. Deshalb möchten Sie im Voraus wissen, wie viele Kosten Ihnen in Abhängigkeit von der bearbeiteten Fläche entstehen.

Im einfachsten Fall können Sie zur Beantwortung dieser Frage eine so genannte Wertetabelle erstellen. In der ersten Zeile tragen Sie Werte für die umgegrabenen m2 ein. Diese umgegrabenen m2 stellen den Output (Ausbringungsmenge, produzierte Menge) dar, der in Zukunft mit x bezeichnet wird. Die zweite Tabellenzeile enthält die Kosten für die Gartengeräte in Höhe von 200 €, die Ihnen unabhängig von den umgegrabenen m2 entstanden sind. Dies sind Ihre Fixkosten (Kf). Die dritte Zeile der Wertetabelle enthält die Kosten, die abhängig von der Anzahl der umgegrabenen m2 sind. Wenn der Student 10 m2 umgräbt, erhält er vereinbarungsgemäß 10 * 10 = 100 €, gräbt er 20 m2 um, erhält er 20 * 10 = 200 € usw. Damit sind die variablen Kosten Kv erfasst. Die vierte und letzte Zeile enthält dann die Gesamtkosten K, die sich als Summe aus fixen und variablen Kosten ergibt.

Dass sich die Gesamtkosten aus der Summe von fixen und variablen Kosten ergeben, kann durch die folgende Gleichung ausgedrückt werden:

Die variablen Kosten Kv lassen sich durch Multiplikation des vereinbarten Lohns pro m2 mit der umgegrabenen Fläche berechnen. Es gilt also:

wobei kv den Lohn/m2 darstellt.
Nun lässt sich in der ersten Gleichung das Kv durch kv * x ersetzten:

Diese letzte Formel stellt die allgemeine Form einer Kostenfunktion dar, die den Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variablen x und der abhängigen Variablen K darstellt.
Bezogen auf unser Gartenbeispiel ergibt sich die folgende Kostenfunktion:

Wenn Sie nun wissen wollen, wie hoch Ihre Kosten bei 23 umgegrabenen m2 sind, so setzten Sie in die Gleichung für x die Zahl 23 ein und berechnen die zugehörigen Kosten. Für K ergibt sich der Wert 430 €. Sie können also anhand der Kostenfunktion die Kostenhöhe bei jeder beliebigen Outputmenge rechnerisch bestimmen.

Neben der Wertetabelle und der mathematischen Kostenfunktion kann man den Zusammenhang zwischen K und x auch grafisch darstellen:

Es wurden bisher drei Möglichkeiten aufgezeigt, den Zusammenhang zwischen Ausbringungsmenge und Kosten darzustellen:

Außerdem wurden die Begriffe Fixkosten, variable Kosten und Gesamtkosten erläutert, die nun genau definiert werden:

1.2.3. Fixe Stückkosten, variable Stückkosten und gesamte Stückkosten:

Unter Stückkosten, auch als Durchschnittskosten bezeichnet, versteht man grundsätzlich die Kosten pro Stück, also pro Outputeinheit. Bezogen auf unser Gartenbeispiel sind dies die Kosten pro umgegrabenem m2.

Die fixen, variablen und gesamten Stückkosten lassen sich nach den folgenden Formeln berechnen:

Gesamte Stückkosten:

Variable Stückkosten:

Fixe Stückkosten:

Wir erweitern die Wertetabelle aus unserem Gartenbeispiel um die jeweiligen Stückkosten:

Für eine Ausbringungsmenge von 0 lassen sich keine Stückkosten errechnen, da die Division durch 0 verboten ist.

Während bei zunehmender Ausbringungsmenge die Fixkosten gleich bleiben, sinken die fixen Stückkosten.

Die variablen Kosten steigen bei zunehmender Ausbringungsmenge, während die variablen Stückkosten gleich bleiben.

Die Summe aus fixen und variablen Stückosten ergeben die gesamten Stückkosten:

Wenn nun die Konstante kv zu den immer kleiner werdenden kf addiert wird, so wird k auch immer kleiner bei zunehmender Ausbringungsmenge.

Die Tatsache, dass die gesamten Stückkosten bei zunehmender Ausbringungsmenge sinken, bezeichnet man als Kostendegression. Die Ursache der Kostendegression liegt darin begründet, dass sich die Fixkosten Kf bei zunehmender Ausbringungsmenge x auf eine immer größere Stückzahl verteilen.

Bei der graphischen Darstellung der Stückkostenfunktionen ist wichtig, dass die Kurve der variablen Stückkosten als Parallele zur x-Achse verläuft, in unserem Beispiel bei dem Wert 10. Die Kurve der fixen Stückkosten nähert sich bei zunehmender Ausbringungsmenge immer stärker dem Wert 0, ohne diesen je zu erreichen. Die Kurve der gesamten Stückkosten nähert sich immer stärker dem Wert 10, also den variablen Stückkosten, ohne diesen je zu erreichen.

Ein weiters Beispiel:

Ein PKW verursacht Anschaffungskosten von 18.000 € bei einer geschätzten Nutzungsdauer von 4 Jahren. Der Benzinverbrauch beträgt im Durchschnitt 10 ltr. auf 100 km bei Benzinkosten von 1,50 €/ltr.

Die jährlichen Abschreibungen stellen Kosten dar, die unabhängig von den gefahrenen Kilometern (Output) immer in gleicher Höhe (4.500 €/Jahr) anfallen.

Die Benzinkosten hängen ab von der jährlichen Fahrleistung. Sie variieren also mit dem Output.

Die Benzinkosten pro km betragen bei einem Verbrauch von 10 ltr. auf 100 km und einem Preis von 1,5 €/ltr. genau 0,15 €.

Auf den Zeitraum von einem Jahr bezogen ergibt sich für den PKW folgende Kostenfunktion:

K = 4.500 + 0,15x

Kv errechnet sich aus den Benzinkosten pro km (Benzinkosten pro Outputeinheit) multipliziert mit den gefahrenen Kilometern. Bei einer (angenommenen) jährlichen Fahrleistung von 40.000 km ergeben sich variable Kosten von:

Die Gesamtkosten pro Jahr bei einer Fahrleistung von 40.000 km belaufen sich also auf

Bei einer Fahrleistung von 20.000 km pro Jahr würden sich die Gesamtkosten K auf 7.500 € belaufen:

Wird der PKW gar nicht bewegt, liegen die Gesamtkosten bei 4.500 € pro Jahr.

Bei einer Fahrleistung von 20.000 km ergeben sich die folgenden Stückkosten:

Gesamte Stückkosten:

Variable Stückkosten:

fixe Stückkosten:

Bei einer Fahrleistung von 40.000 km ergeben sich folgende Werte:

Gesamte Stückkosten:

Variable Stückkosten:

fixe Stückkosten:

Aus diesem Zahlenbeispiel lassen sich die folgenden Zusammenhänge herleiten:

Bei zunehmender Ausbringungsmenge sinken die fixen und die gesamten Stückkosten (kf und k), während die variablen Stückkosten (kv) gleich bleiben.

Wertetabelle für den PKW:

Grafische Darstellung der Kostenverläufe:

Grafische Darstellung der Stückkostenverläufe:

1.2.4. Zusammenfassung der Definitionen und Gleichungen:

K = Gesamtkosten oder schlicht als Kosten bezeichnet

Kf = Fixkosten

Kv = variable Kosten

k = gesamte Stückkosten oder nur Stückkosten

kf = fixe Stückkosten

kv = variable Stückkosten

Aufgaben zum Kapitel "Kostendefinition und Kostenbegriffe"

1.3. Auswahl des kostenminimalen Produktionsverfahrens

Die im vorigen Abschnitt gewonnen Erkenntnisse über Kostenfunktionen sollen nun bei der Auswahl des kostenminimalen Produktionsverfahrens, oft kurz als „Verfahrensvergleich“ bezeichnet, eine erste praktische Anwendung finden.

Wenn ein Unternehmen plant, ein bestimmtes Produkt herzustellen, so muss zunächst eine Entscheidung über den Einsatz des optimalen Produktionsverfahrens getroffen werden. Sollen beispielsweise Autos hergestellt werden, so könnte dies vorwiegend durch Handarbeit und wenig Maschineneinsatz geschehen. Ein solches Produktionsverfahren verursacht sehr hohe variable Kosten pro Auto, da eine Vielzahl von Mitarbeitern sehr lange mit der Herstellung eines Autos beschäftigt sind. Die Fixkosten dagegen fallen wegen des geringen Maschineneinsatzes und der damit verbundenen niedrigen Abschreibungen vergleichsweise niedrig aus . Werden bei der Fahrzeugproduktion dagegen Fließbänder eingesetzt um Mitarbeiter einzusparen, steigen die Fixkosten wegen der höheren AfA auf diese Maschinen und die variablen Kosten sinken wegen des vergleichsweise geringen Einsatzes von Arbeitskräften.

Seit Erfindung der Dampfmaschine im 18. Jahrhundert ist unser Wirtschaftsprozess durch Rationalisierung gekennzeichnet. Der Produktionsfaktor Arbeit wurde in zunehmendem Maße durch den Produktionsfaktor Kapital substituiert (ersetzt). Dies bedeutet, dass die älteren Produktionsverfahren grundsätzlich mit hohen variablen Stückkosten und niedrigen Fixkosten verbunden waren, während neuere, rationellere Produktionsverfahren geringe variable Stückkosten aber dafür hohe Fixkosten aufweisen.

Die Auswahl des optimalen Produktionsverfahrens wird nun an einem einfachen Beispiel verdeutlicht:

Sie benötigen für Ihre EDV-Anlage einen neuen Drucker. Zur Auswahl stehen ein Tintenstrahl- und ein Laserdrucker. Bei beiden Druckern rechnen Sie mit einer Nutzungsdauer von drei Jahren. Der Tintenstrahldrucker kostet 300 €, der Laserdrucker dagegen 900 €. Der Tintenstrahldrucker verursacht Kosten pro gedruckter Seite von 0,15 €, beim Laserdrucker dagegen kostet eine Seite 0,10 €. Wenn bei der Auswahl des Druckers nur Kostenaspekte eine Rolle spielen sollen, gehen Sie folgendermaßen vor:

Zunächst werden die Kostenfunktionen für beide Drucker erstellt, wobei eine einjährige Betrachtungsperiode zugrunde liegt. Deshalb müssen die Anschaffungskosten der beiden Drucker auf ihre dreijährige Nutzungsdauer verteilt werden.

KT = Kostenfunktion des Tintenstrahldruckers
KL = Kostenfunktion des Laserdruckers

KT = 100 + 0,15x
KL = 300 + 0,10x

Die grafische Darstellung der beiden Kostenfunktionen ergibt folgendes Bild:

Man kann an der Grafik ablesen, dass beide Drucker genau bei 4.000 ausgedruckten Seiten pro Jahr gleich hohe Kosten, nämlich 700 € verursachen. Zwischen 0 und 4.000 Seiten ist der Tintenstrahler preiswerter, über 4.000 Seiten wird der Laserdrucker preisgünstiger.

Will man das Problem mathematisch lösen, geht man folgendermaßen vor:

Gesucht wird die Ausbringungsmenge, bei der beide Drucker gleich teuer sind, bei der also die Kosten für den Tintenstrahldrucker genau so hoch sind wie für den Laserdrucker. Mathematisch ausgedrückt wird das x gesucht, bei dem gilt:

KT = KL

Für KT darf man auch 100 + 0,15x schreiben und KL ist das Gleiche wie 300 + 0,10x. Die obige Gleichung darf also folgendermaßen umgeformt werden:

100 + 0,15x = 300 + 0,10x

Auf beiden Seiten der Gleichung wird 0,10x subtrahiert:

100 + 0,05x = 300

Auf beiden Seiten der Gleichung wird nun 100 subtrahiert:

0,05x = 200

Beide Seiten der Gleichung werden durch 0,05 dividiert:

x = 4.000

Bei einer Ausbringungsmenge von 4.000 Seiten pro Jahr verursachen also beide Produktionsverfahren Kosten in gleicher Höhe. Bei Ausbringungsmengen unter 4.000 ist das Produktionsverfahren mit den geringeren Fixkosten und den höheren variablen Kosten günstiger. Bei mehr als 4.000 gedruckten Seiten jährlich wird der Laserdrucker kostengünstiger.

Ein weiteres Beispiel:

Sie haben zwei Autotypen zur Wahl und wollen sich aus reinen Kostengesichtspunkten für einen Typ entscheiden. Die folgenden Werte (alle bezogen auf ein Jahr) sind Ihnen bekannt:

Die Benzinkosten betragen 1,00 €/ltr.

Bis zu welcher Fahrleistung pro Jahr ist Typ I günstiger als Typ II? Das Problem ist graphisch und mathematisch zu lösen.

Graphische Lösung:

Mathematische Lösung:

KI = 2.000 + 0,15x

KII = 3.000 + 0,10x

Die beiden Fahrzeugtypen sind bei der Fahrleistung gleich teuer, bei der sich die Kostenkurven schneiden, mit anderen Worten bei dem x, bei dem KI = KII ist.
Wenn die linken Seiten von zwei Gleichungen gleichgesetzt werden können, so dürfen auch die rechten Seiten gleichgesetzt werden:

2.000 + 0,15x = 3.000 +0,10x

Von beiden Seiten der Gleichung wird 2.000 abgezogen:

0,15x = 1.000 + 0,10x

Von beiden Seiten der Gleichung wird 0,10x abgezogen:

0,05x = 1.000

Beide Seiten der Gleichung werden durch 0,05x dividiert:

x = 20.000

Ab einer Fahrleistung von 20.000 km pro Jahr wird Typ II billiger als Typ I.

Aufgaben zum Kapitel "Auswahl des kostenminimalen Produktionsverfahrens"

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1.4. Nicht lineare Kostenverläufe, zugehörige Stückkosten und Betriebsoptimum

Die bisher dargestellten Kostenfunktionen verliefen alle linear, d.h. die Kostenfunktion war eine Gerade. Ein linearer Kostenverlauf ergibt sich immer dann, wenn sich die variablen Kosten proportional zur Ausbringungsmenge entwickeln. Dies bedeutet, dass z.B. bei einer 10 %-igen Steigerung der Outputmenge die variablen Kosten ebenfalls um 10 % steigen. Als Beispiel für proportionale Kosten seien hier Akkordlöhne genannt, die für jedes Stück in gleicher Höhe gezahlt werden oder auch Materialkosten, wenn der Materialverbrauch pro Outputeinheit immer gleich ist.

In der folgenden Grafik wird noch einmal der lineare Kostenverlauf mit zugehöriger Stückkostenkurve dargestellt:

Bei linearem Gesamtkostenverlauf nehmen die Stückkosten bei zunehmender Ausbringungsmenge ständig ab. Das Minimum der Stückkostenkurve liegt mathematisch gesehen im Unendlichen, aus betriebswirtschaftlicher Sicht jedoch an der Kapazitätsgrenze des Unternehmens.

Die Ausbringungsmenge, bei der die Stückosten minimal sind, wird auch als Betriebsoptimum bezeichnet. Bei linearem Kostenverlauf liegt das Betriebsoptimum also an der Kapazitätsgrenze.

Dass im Falle einer linearen Kostenfunktion die gesamten Stückkosten kontinuierlich sinken, kann auch folgendermaßen erklärt werden:

Die gesamten Stückkosten sind die Summe aus variablen und fixen Stückkosten. Die variablen Stückkosten sind konstant, die fixen Stückkosten nehmen mit zunehmender Ausbringungsmenge ab, also nimmt die Summe aus beiden ebenfalls ständig ab.

In der Praxis werden jedoch auch Funktionen beobachtet, bei denen die variablen Gesamtkosten unterproportional (degressiv) oder überproportional (progressiv) steigen, wenn die Ausbringungsmenge erhöht wird. Auch eine Kombination aus degressivem und progressivem Kostenverlauf (ertragsgesetzlicher Kostenverlauf) kommt vor.

Ein unterproportionaler Anstieg der variablen Kosten (degressiver Kostenverlauf) bedeutet, dass beispielsweise eine 10 %-ige Outputsteigerung zu einer Steigerung der variablen Gesamtkosten von weniger als 10 % führt.

Ein überproportionaler Anstieg der variablen Kosten (progressiver Kostenverlauf) bedeutet, dass beispielsweise eine 10 %-ige Outputsteigerung zu einer Steigerung der variablen Gesamtkosten von mehr als 10 % führt.

In die Schaubilder sind zum jeweiligen Verlauf der Gesamtkostenfunktionen die Stückkostenkurven eingezeichnet.

1.4.1. Der degressive Kostenverlauf

Beim degressiven Verlauf der Gesamtkostenfunktion steigen die Kosten bei zunehmender Ausbringungsmenge, jedoch mit abnehmenden Zuwachsraten. Dies bedeutet, dass die Zunahme der Gesamtkosten umso geringer ist, je höher die Ausbringungsmenge wird. Degressiv können möglicherweise die Kosten für Materialverbrauch verlaufen, wenn beim Einkauf Mengenrabatte gewährt werden.

Beim degressiven Kostenverlauf steigen die variablen Kosten unterproportional, d. h. bei einer Veränderung der Ausbringungsmenge um beispielsweise 20 % verändern sich die variablen Kosten um weniger als 20 %. Dies bedeutet, dass die variablen Stückkosten sinken. Da die fixen Stückkosten ebenfalls sinken, müssen auch die gesamten Stückkosten sinken.

Das Minimum der Stückkosten liegt, wie beim linearen Kostenverlauf, an der Kapazitätsgrenze.

Zahlenbeispiel für einen degressiven Verlauf der Gesamtkostenfunktion:

1.4.2. Der progressive Kostenverlauf

Beim progressiven Verlauf der Gesamtkostenfunktion steigen die Kosten bei zunehmender Ausbringungsmenge überproportional. Progressiv verhalten sich z.B. Energiekosten, wenn Anlagen mit überhöhter Intensität ausgelastet werden. Auch Ottomotoren in Autos haben eine Drehzahl, bei der der Benzinverbrauch pro gefahrenen Kilometer am geringsten ist. Erhöht man diese Drehzahl, so steigt der Benzinverbrauch pro gefahrenen Kilometer überproportional. Auch Fertigungslöhne können überproportional steigen, wenn Mehrproduktion nur durch Überstunden mit Zuschlägen realisiert werden kann.

Auf die Stückkosten wirken bei einer progressiv verlaufenden Kostenfunktion zwei gegenläufige Effekte:

  1. Der erste Effekt besteht darin, dass die Fixkosten bei zunehmender Ausbringungsmenge auf eine immer größere Stückzahl verteilt werden. Dieser Effekt führt zu sinkenden Stückkosten (wie bei sämtlichen anderen Kostenverläufen auch).
  2. Der zweite Effekt besteht darin, dass durch die überproportionale Zunahme der variablen Gesamtkosten (eine Erhöhung des Outputs um beispielsweise 20 % führt zu einer Steigerung der variablen Kosten um mehr als 20 %) die variablen Stückkosten bei zunehmender Ausbringungsmenge zunehmen.

Bei kleinen Stückzahlen überwiegt der erste Effekt (die fixen Stückkosten sinken stärker als die variablen Stückkosten steigen), so dass die Stückkosten insgesamt zunächst sinken. Ab einer gewissen Outputmenge überwiegt jedoch der zweite Effekt (die fixen Stückkosten sinken weniger stark als die variablen Stückkosten steigen), so dass die Stückkosten insgesamt steigen. Die Stückkostenkurve sinkt also zunächst, um dann ab einer bestimmten Ausbringungsmenge zu steigen. Die Stückkostenkurve hat also ein Minimum.

Die Ausbringungsmenge, bei der die Stückkosten minimal sind, lässt sich graphisch dadurch ermitteln, dass man eine Linie durch den Nullpunkt des Koordinatensystems zeichnet (diese Linie wird als Fahrstrahl bezeichnet), die die Gesamtkostenkurve gerade noch tangiert (berührt). Unterhalb des Tangentialpunktes befindet sich dann die Ausbringungsmenge, bei der die Stückkosten minimal sind (xmin).

Für den progressiven Verlauf einer Gesamtkostenkurve soll das folgende Zahlenbeispiel verdeutlichen, dass die Stückkosten zunächst fallen (im Beispiel bis zur Ausbringungsmenge von 6 Einheiten), um anschließend wieder anzusteigen. Die Stückkosten sind im Beispiel bei 6 Outputeinheiten am geringsten.


1.4.3. Der ertragsgesetzliche Kostenverlauf

Die ertragsgesetzliche Gesamtkostenfunktion setzt sich aus einer zunächst degressiven und dann progressiven Kostenfunktion zusammen. Die Stelle der Kostenfunktion, an der die degressive Steigung in eine progressive übergeht, wird als Wendepunkt (W) bezeichnet. Solange die Gesamtkostenfunktion degressiv steigt, sinken sowohl die variablen wie auch die fixen Stückkosten und damit auch die gesamten Stückkosten. Beim übergang der Gesamtkostenfunktion in eine progressive Steigung fangen die variablen Stückkosten an zu steigen, während die fixen Stückkosten immer noch sinken. Zunächst überwiegt noch der Effekt der sinkenden fixen Stückkosten, so dass die gesamten Stückkosten weiter fallen. Ab einer bestimmten Ausbringungsmenge steigen die variablen Stückkosten jedoch stärker als die fixen Stückkosten fallen. Dies führt dann zu insgesamt steigenden Stückkosten.

Im Falle des ertragsgesetzlichen Kostenverlaufs liegt das Betriebsoptimum wieder bei der Ausbringungsmenge, bei der der Fahrstrahl die Kostenfunktion gerade noch tangiert.

Ein ertragsgesetzlicher Kostenverlauf kann bereits aus dem im Jahr 1766 von Jaques Turgot und im Jahr 1826 von Johann Heinrich v. Thünen beschriebenen Ertragsgesetz hergeleitet werden. (Ertragsfunktionen beschreiben den Zusammenhang zwischen Ausbringungsmenge und dem mengenmäßigen Einsatz an Produktionsfaktoren.) Dieser so genannten Produktionsfunktion vom Typ A lagen jedoch lediglich Beobachtungen bei der landwirtschaftlichen Produktion zugrunde. Ob sich auch in der industriellen Produktion ertragsgesetzliche Kostenverläufe herleiten lassen, ist in der Betriebswirtschaftslehre umstritten. „Man neigt jedoch dazu, den linearen Gesamtkostenverlauf für die Mehrzahl aller Fälle der industriellen Produktion als repräsentativ zu betrachten“[3]

Damit wird jedoch nicht ausgeschlossen, dass in bestimmten Situationen auch nichtlineare Kostenverläufe auftreten. Ein ertragsgesetzlicher Kostenverlauf ist auch in der industriellen Produktion bei Betriebsmitteln wahrscheinlich, die bei einer intensitätsmäßigen Anpassung eine u-förmige Verbrauchsfunktion (Gutenberg-Produktionsfunktion, Produktionsfunktion vom Typ B) aufweisen.[4]

Aufgaben zum Kapitel "Nicht lineare Kostenverläufe, zugehörige Stückkosten und Betriebsoptimum"

1.5. Grenzkosten

Unter Grenzkosten (K') versteht man den Kostenzuwachs, der entsteht, wenn die Ausbringungsmenge um eine Einheit erhöht wird.

Angenommen, es gilt die Kostenfunktion
K = 20 + 4x
und ein Anbieter produziert 10 Einheiten. Bei 10 Einheiten entstehen ihm Gesamtkosten in Höhe von 60 €. Erhöht er nun seine Ausbringungsmenge auf 11 Einheiten, so entstehen ihm Gesamtkosten von 64 €. Der Kostenzuwachs, also die Grenzkosten, belaufen sich auf 4 € bei einer Erhöhung des Outputs von 10 auf 11 Einheiten.

Würde der Anbieter seinen Output z.B. von 25 auf 26 Einheiten steigern, so entsteht ihm ebenfalls ein Kostenzuwachs von 4 €.

Bei linearem Verlauf der Gesamtkostenfunktion sind die Grenzkosten konstant und entsprechen den variablen Stückkosten.

Bei nichtlinearem Gesamtkostenverlauf sind die Grenzkosten dagegen nicht konstant:

  • Progressiver Kostenverlauf: Die Grenzkosten steigen
  • Degressiver Kostenverlauf: die Grenzkosten fallen
  • Ertragsgesetzlicher Kostenverlauf: die Grenzkosten fallen zunächst um dann wieder anzusteigen. Das Minimum der Grenzkostenkurve liegt bei der Ausbringungsmenge, bei der die Gesamtkostenfunktion ihren Wendepunkt hat, d.h. wo der degressive Verlauf in einen progressiven übergeht.

Die folgenden Schaubilder stellen die Grenzkostenkurven bei den verschiedenen Formen der Gesamtkostenfunktionen dar.

Die folgenden Zahlenbeispiele stellen die Entwicklung der Grenzkosten für den degressiven und progressiven Verlauf der Gesamtkostenfunktion dar:



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1.6. Break-Even-Analyse

In marktwirtschaftlich orientierten Wirtschaftssystemen streben die Unternehmer neben anderen Zielen vor allem das Ziel der Gewinnmaximierung an. Der Gewinn ist betriebswirtschaftlich als Differenz zwischen Erlösen und Kosten definiert.

G = E - K

Der Erlös ergibt sich seinerseits als Produkt aus abgesetzter Menge und Marktpreis.

E = p * x

Wird der Preis als vom Markt vorgegeben (vollkommene Konkurrenz, Polypol) angenommen, so kann ein Anbieter die Höhe seines Erlöses nur über die Variation der Ausbringungsmenge beeinflussen. Es ergibt sich dann eine lineare Erlösfunktion.

Verläuft die Gesamtkostenfunktion ebenfalls linear, so werden wegen der Fixkosten bei geringen Ausbringungsmengen die Gesamtkosten die Erlöse übersteigen. Bei zunehmender Ausbringungsmenge wird der Erlös jedoch höher als die Gesamtkosten. Es muss also eine Ausbringungsmenge geben, bei der sich Erlösfunktion und Kostenfunktion schneiden, bei der also gilt

E = K

Als Break-Even-Point wird nun diejenige Ausbringungsmenge bezeichnet, bei der Erlöse und Kosten gleich hoch sind, ab der das Unternehmen also in die Gewinnzone kommt.

Die Bestimmung dieses Break-Even-Points kann sowohl mathematisch wie auch graphisch vorgenommen werden.

Angenommen sei die folgende Kosten- und Erlösfunktion:

K = 20 + 4x

E = 6x (Marktpreis ist 6€)

Beim Break-Even-Point gilt E = K, also können auch die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichgesetzt werden. Man erhält dann eine Gleichung mit einer Unbekannten, die sich lösen lässt:

20 + 4x = 6x
20 = 2x
x = 10

Ab einer Ausbringungsmenge von 10 Einheiten kommt das Unternehmen in die Gewinnzone. Da das Gewinnmaximum immer dort liegt, wo die Differenz zwischen Erlösen und Kosten am größten ist, liegt die gewinnmaximale Ausbringungsmenge eines Anbieters mit linearem Kosten- und Erlösverlauf an der Kapazitätsgrenze.

Die graphische Bestimmung des Break-Even-Points erfolgt, indem beide Kurven graphisch dargestellt werden und vom Schnittpunkt der beiden Kurven das Lot auf die x-Achse gefällt wird.

Beispiel:

Ein Unternehmen kann das Produkt x zu 20 € am Markt absetzen.
Bei der Produktion von 1.500 Stück entstehen variable Kosten (Kv) von 15.000 €. Die Fixkosten (Kf) belaufen sich auf 20.000 €. Ab welcher Ausbringungsmenge erreicht das Unternehmen die Gewinnzone?

  1. Mathematische Lösung:

    E = 20 x
    K = 20.000 + 10x

    Die Gewinnzone wird bei der Ausbringungsmenge erreicht, bei der gilt:

    E = K

    Für die Ausbringungsmenge, für die E = K gilt, gilt auch:

    20x = 20.000 + 10x
    10x = 20.000
    x = 2.000

    Ab einer produzierten Menge von 2.000 Stück befindet sich das Unternehmen in der Gewinnzone.

  2. Graphische Lösung:

    Aufgaben zum Kapitel "Break-Even-Analyse"

    1.7. Nutzenschwelle - Nutzengrenze

    Bei linearem und degressivem Verlauf der Gesamtkostenfunktion gibt es lediglich einen Schnittpunkt zwischen Erlös- und Kostenfunktion. Verlaufen die Kostenfunktionen dagegen progressiv oder ertragsgesetzlich, schneidet die Erlösfunktion zweimal die Kostenfunktion.

    Bei progressivem und ertragsgesetzlichem Verlauf der Kostenfunktion wird der erste Schnittpunkt zwischen Erlös- und Kostenfunktion als Nutzenschwelle oder Gewinnschwelle, der zweite Schnittpunkt als Nutzengrenze oder Gewinngrenze bezeichnet.

    Nur bei Ausbringungsmengen, die zwischen Nutzenschwelle und Nutzengrenze liegen (zwischen x1 und x3 ), befindet sich das Unternehmen in der Gewinnzone. Die schraffierte Fläche zwischen Erlös- und Kostenfunktion wird als Gewinnlinse bezeichnet.

    Der Gewinn wird bei der Ausbringungsmenge maximiert, bei der Erlös- und Kostenfunktion am weitesten auseinander liegen. Graphisch lässt sich die gewinnmaximale Ausbringungsmenge ermitteln, indem man die Erlösfunktion solange parallel verschiebt, bis sie die Kostenfunktion gerade noch tangiert. Fällt man vom Tangentialpunkt aus das Lot auf die x-Achse, hat man die gewinnmaximale Ausbringungsmenge ermittelt.

    Nutzenschwelle und Nutzengrenze beim ertragsgesetzlichen Kostenverlauf:

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    1.8. Kurz- und langfristige Preisuntergrenze

    Sinkt der Marktpreis für ein bestimmtes Produkt, so müssen sich die Anbieter dieses Produktes die Frage stellen, bis zu welchem Preis sie noch bereit sind, das Produkt herzustellen. Bei der Beantwortung dieser Frage ist zwischen kurz- und langfristiger Betrachtungsweise zu unterscheiden:

    Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt dort, wo der Marktpreis gerade noch die variablen Stückkosten deckt, wo also gilt: p = kv.

    Kurzfristig wird ein Unternehmen bereit sein, einen Marktpreis zu akzeptieren, der gerade noch die variablen Stückkosten deckt. Dem liegt folgende Überlegung zugrunde: Die fixen Kosten sind kurzfristig nicht abbaubar und demzufolge ist kurzfristig betrachtet der Verlust bei Fortführung der Produktion genauso hoch wie bei Einstellung der Produktion. Bei einem Marktpreis, der also gerade noch die variablen Stückkosten deckt (p = kv), entsteht ein Verlust in Höhe des gesamten Fixkostenblocks. Dieser Preis wird als kurzfristige Preisuntergrenze bezeichnet. Die Kurve der variablen Gesamtkosten ist dann identisch mit der Erlöskurve (linearer Kosten- und Erlösverlauf unterstellt). Dies bedeutet, dass die Erlöse gerade die variablen Kosten decken.

    In der Praxis spielen neben dieser rein kostenrechnerischen Betrachtungsweise noch andere Überlegungen eine Rolle: Ein Unternehmen wird wahrscheinlich sogar einen Preis akzeptieren, der noch unter den variablen Stückkosten liegt, wenn in absehbarer Zeit wieder mit Preissteigerungen gerechnet werden kann. Eine Unterschreitung der kurzfristigen Preisuntergrenze könnte auch in Kauf genommen werden, um Konkurrenten aus dem Markt zu drängen. Andererseits wird möglicherweise die Produktion schon eingestellt bei einem Preis, der oberhalb der kurzfristigen Preisuntergrenze liegt, weil zur Deckung der Fixkosten laufende Ausgaben erforderlich sind, die zu Liquiditätsproblemen und u.U. zur Zahlungsunfähigkeit führen können.

    Als langfristige Preisuntergrenze wird der Preis bezeichnet, bei dem sowohl die variablen wie auch die fixen Stückkosten gedeckt sind, wo also gilt p = k.

    Da die Durchschnittskostenkurve degressiv fällt, ist die Frage nach der langfristigen Preisuntergrenze nur im Zusammenhang mit der Ausbringungsmenge zu beantworten. Nimmt man die Stückkostenfunktion eines Unternehmens als gegeben an, so darf der Preis bis höchstens auf das Minimum der Stückkosten (an der Kapazitätsgrenze) absinken. Dies soll die folgende Graphik verdeutlichen:

    Zahlenbeispiel zur Ermittlung der langfristigen Preisuntergrenze:

    Unterstellt wird die folgende Kostenfunktion:

    K = 5.000 + 2x

    Bei 10.000 Outputeinheiten betragen die Gesamtkosten 25.000 €. Können tatsächlich 10.000 Einheiten abgesetzt werden, so ergibt sich eine langfristige Preisuntergrenze von:

    Lassen sich jedoch am Markt beispielsweise nur 5.000 Einheiten absetzen, so liegt die langfristige Preisuntergrenze bei:

    Das Beispiel soll verdeutlichen, dass die Frage nach der langfristigen Preisuntergrenze immer nur unter Angabe der hergestellten und verkauften Stückzahl beantwortet werden kann.

    Ein Zusammenhang zwischen Break-Even-Point und langfristiger Preisuntergrenze kann nicht gesehen werden, da die Ermittlung des Break-Even-Point eine völlig andere Fragestellung beantwortet, nämlich: „Bei welcher Ausbringungsmenge ist eine Deckung der Gesamtkosten erreicht?“. Hier ist die zu ermittelnde Unbekannte die Ausbringungsmenge, während bei der Feststellung der langfristigen Preisuntergrenze ein Preis zu errechnen ist.

    Der Aussage „Die langfristige Preisuntergrenze stellt der Break-Even-Point dar“[5], kann aus den genannten Gründen nicht zugestimmt werden. Ein Absinken des Preises führt zu einer Drehung der Erlösfunktion um den 0-Punkt des Koordinatensystems. Dadurch verschiebt sich bei gleich bleibender Kostenfunktion der Break-Even-Point nach rechts, Deckung der Gesamtkosten wird also erst bei größeren Ausbringungsmengen erreicht.

    Aufgaben zum Kapitel "Kurz- und langfristige Preisuntergrenze"

    1.9. Sprungfixe Kosten, Nutz- und Leerkosten, Kostenremanenz

    1.9.1. Sprungfixe Kosten (intervallfixe Kosten)

    Es gibt keine ihrem Wesen nach fixen und auch keine ihrem Wesen nach variablen Kosten. Zu welcher dieser beiden Kostenarten bestimmte Kosten zählen, hängt von zwei Faktoren ab[6]:

    1. Von der Betrachtungsperiode (Entscheidungszeitraum)
    2. Von der Teilbarkeit der Produktionsfaktoren

    Zu 1:
    Ist die Betrachtungsperiode länger als ein Jahr, so sind die Personalkosten variabel (Kündigungsfristen: 3 Monate). Bei einem Entscheidungszeitraum von 2 Wochen sind die Personalkosten fix. über die Gesamtlebensdauer einer Unternehmung (Gründung bis zur Liquidation) gibt es nur variable Kosten.

    Zu 2:
    Viele Produktionsfaktoren sind nicht beliebig teilbar. Hierdurch entstehen die so genannten sprungfixen oder intervallfixen Kosten. Wenn z.B. mit einer Maschine, die Fixkosten von 200 € pro Periode verursacht, 500 Stück/Periode hergestellt werden können, so ergibt sich daraus wegen der Unteilbarkeit dieser Maschine bei verschiedenen Beschäftigungsgraden folgender Verlauf der Kostenfunktion für diese Maschinen:

    Bei Outputmengen zwischen 1 und 500 Einheiten genügt der Einsatz einer Maschine, die Kosten belaufen sich also auf 200 €. Sobald jedoch 501 Einheiten hergestellt werden sollen, muss eine zweite Maschine angeschafft werden und die Kosten erhöhen sich sprunghaft auf 400 €. Dieser Vorgang wiederholt sich bei 1001 und 1501 Outputeinheiten.

    1.9.2. Nutz- und Leerkosten

    Bei den sprungfixen Kosten ergeben sich aufgrund der Unteilbarkeit eines Produktionsfaktors so genannte Nutz- und Leerkosten.

    Beispiel:
    Eine Maschine verursacht Kosten in Höhe von 1.000 € und es können 800 Stück/Periode produziert werden. Bei einer tatsächlichen Produktion von 600 Stück betragen die Nutzkosten 75 %, also 750 € und die Leerkosten 25 %, also 250 €. Bei voller Kapazitätsauslastung betragen die Nutzkosten 100 % und die Leerkosten 0 %.

    1.9.3. Kostenremanenz

    Unter Kostenremanenz versteht man die Tatsache, dass bei rückläufiger Auftragslage die Kosten nicht in dem Maße abgebaut werden, wie die Beschäftigung zurückgeht.

    Die Ursachen der Kostenremanenz sind teils außerbetrieblicher Natur: Arbeitsrechtliche und soziale Gründe verhindern einen schnellen Abbau der Kosten.

    Aber auch innerbetriebliche Gründe spielen eine Rolle: Man erwartet eine Besserung der Beschäftigungsstruktur und will das Stammpersonal nicht verlieren oder man lässt in Unkenntnis der wirklichen Betriebsorganisation noch Abteilungen bestehen, die eingeschränkt werden könnten.

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    Fußnoten

    [1] Wöhe, Günter, Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, 18. Auflage, Verlag Franz Valen München 1993, S 997

    [2] Wöhe, Günter, Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, 18. Auflage, Verlag Franz Valen München 1993, S 725

    [3] Haberstock, Lothar, Kostenrechnung I, Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler KG, Wiesbaden 1980. 5. , durchgesehene Auflage, S 53

    [4] vgl.: Gutenberg, Erich, Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Erster Band, Die Produktion, 21. Auflage, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1975, S 326 ff

    [5] Lang, Helmut, Kosten- und Leistungsrechnung, Herausgegeben von Prof. Eichholz und Walter Endriss, Verlag C.H. Beck, München 1980, S117

    [6] vgl.: Wöhe, Gülnter, a.a.O, S. 354